Am 3. März 2025 beschäftigen sich Physiker der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), darunter Ece Ipek Saruhan, Prof. Dr. Joachim von Zanthier und Dr. Marc Oliver Pleinert, mit der Frage, ob hyperkomplexe Zahlen in der Quantenmechanik notwendig sind. Dieser bemerkenswerte Ansatz tritt in den Kontext der über 100 Jahre alten Quantenmechanik, die von Größen wie Heisenberg, Born und Schrödinger formuliert wurde, und deren mathematische Grundlage, die traditionell auf komplexen Zahlen basiert.
Die Quantenmechanik entstand in den 1920er Jahren in Reaktion auf die unzureichenden Erklärungen der klassischen Physik für bestimmte Phänomene. Schrödinger, der die alternative Wellenmechanik präsentierte, und andere Physiker entwickelten die Theorie zur Beschreibung der Welleneigenschaften von Teilchen, und bis heute hat kein Experiment der Quantenmechanik widersprochen, wie in der Literatur berichtet wird.
Der Begriff der hyperkomplexen Zahlen
Hyperkomplexe Zahlen erweitern komplexe Zahlen um weitere Dimensionen und sind seit den 1970er Jahren ein Thema in der Diskussion um die Quantenmechanik. Asher Peres formulierte einen Test, um festzustellen, ob die Quantenmechanik vollständig mit komplexen Zahlen beschrieben werden kann. Der Test enthält den Vergleich von Interferenzmustern von Lichtstrahlen in unterschiedlichen Interferometern. Frühe Experimente führten vereinfachte Versionen dieses Tests durch, brachten jedoch keinen klaren Beweis für die Notwendigkeit hyperkomplexer Zahlen.
Die aktuellen Forschungen der FAU-Physiker haben den Peres-Test theoretisch weiterentwickelt. Diese neue Methodik ermöglicht es, die rezultierenden Testergebnisse als Volumina in einem dreidimensionalen Raum zu deuten. Sollte das Volumen null sein, würde das Genügen komplexer Zahlen naheliegen; andernfalls wären hyperkomplexe Zahlen erforderlich. Diese erweiterte Teststruktur erlaubt zudem die Untersuchung mehrerer Lichtteilchen durch Interferometer mit beliebig vielen Spalten.
Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
Die mathematische Formulierung der Quantenmechanik, die 1932 von John von Neumann entwickelt wurde, beschreibt ein physikalisches System durch drei Hauptbestandteile: Zustände, Observablen und Dynamik. In der Kopenhagener Interpretation wird der Zustand eines Systems durch einen komplexen Zustandsvektor sowie hermitesche Operatoren repräsentiert, die physikalisch messbare Größen darstellen. Das resultierende Messresultat entspricht den Eigenwerten der entsprechenden Observable, wie in der Wikipedia erläutert wird.
Ein besonders wichtiges Konzept der Quantenmechanik ist die Heisenbergsche Unschärferelation, die besagt, dass Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung beschreiben die Entwicklung der Wellenfunktion eines Systems über die Zeit und müssen normierbar und stetig sein. Messungen führen direkt zu den Eigenwerten der entsprechenden Operatoren, was die quantenmechanischen Eigenschaften eines Systems definiert.
Zusammenfassend zeigt die Forschung an der FAU, dass die Klärung der Beziehung zwischen komplexen und hyperkomplexen Zahlen eine zentrale Rolle dabei spielt, die fundamentalen Aspekte der Quantenmechanik weiter zu verstehen und zu überprüfen. Während bisherigen Messungen darauf hindeuten, dass komplexe Zahlen ausreichen, bleibt die Frage nach der Notwendigkeit hyperkomplexer Zahlen weiterhin spannend und offen für zukünftige Experimente und Erkenntnisse.